Turunan pertama dari \( \displaystyle f(x) = \frac{x^2-7}{x \sqrt{x}} \) adalah…
- \( \displaystyle \frac{ x^2+21 }{ 2x^2 \sqrt{x} } \)
- \( \displaystyle \frac{ x^2+21 }{ x^2 \sqrt{x} } \)
- \( \displaystyle \frac{ x^2-21 }{ 2x^2 \sqrt{x} } \)
- \( \displaystyle \frac{ x^2 }{ x^2 \sqrt{x} + 21 } \)
- \( \displaystyle \frac{ x^2+21 }{ 2x \sqrt{x} } \)
(UM UGM 2005)
Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama fungsi \( f(x) \) di atas kita bisa gunakan aturan pembagian turunan, yakni untuk \( \displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) maka \( \displaystyle f’(x) = \frac{ u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2(x)} \). Misalkan \( u(x) = x^2-7 \) sehingga \( u’(x) = 2x \) dan \( v(x) = x \sqrt{x} = x^{3/2} \) sehingga \( v’(x) = \frac{3}{2}x^{ 1/2 } \).
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} f’(x) &= \frac{ u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2(x)} \\[8pt] &= \frac{2x \cdot x^{3/2} - (x^2-7) \cdot \frac{3}{2} x^{1/2}}{ (x^{3/2})^2 } \\[8pt] &= \frac{ 2x^{5/2} - \frac{3}{2} x^{5/2} + \frac{21}{2}x^{1/2} }{x^3} \\[8pt] &= \frac{ \frac{1}{2}x^{5/2} + \frac{21}{2}x^{1/2} }{ x^3 } \\[8pt] &= \frac{ \frac{1}{2}x^{1/2} \left( x^2 + 21 \right) }{ x^3 } = \frac{(x^2+21)}{2x^{5/2}} \\[8pt] &= \frac{(x^2+21)}{2x^2 \sqrt{x}} \end{aligned}
Jawaban A.